<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\tgotitle{Puissance d'un point par rapport Ă&nbsp; un cercle}

\section{Mesure algĂ©brique}
On dĂ©finit la mesure algĂ©brique d'un bipoint~$(A,B)$ dans un repĂ¨re de la droite~$(AB)$ comme la diffĂ©rence des abscisses $x_B-x_A$ (voir figure~\ref{figmesalg}). Dans le contexte euclidien qui nous intĂ©resse ici, les repĂ¨res des droites sont normĂ©s : la mesure algĂ©brique ne dĂ©pend que de l'orientation de la droite (elle est dĂ©finie \frquote{au signe prĂ¨s}). On notera cependant  que le produit ou le quotient de deux mesures algĂ©briques sont quant Ă&nbsp; eux indĂ©pendants du choix du repĂ¨re, puisqu'en cas de changement d'orientation les signes des deux quantitĂ©s considĂ©rĂ©es changent simultanĂ©ment. 

\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tikzpicture}
\coordinate[label=above:$A$] (A) at (-1.3,0);
\coordinate [label=below:$x_A$] (xA) at (-1.3,0);
\coordinate[label=above:$B$] (B) at (1.7,0);
\coordinate [label=below:$x_B$] (xB) at (1.7,0);
\coordinate (Z) at ($(A)!1.1!(B)$);
\coordinate (T) at ($(B)!1.1!(A)$);
\draw (Z)--(T);
\node[below] at ($(A)!0.5!(B)$){$\mesalg{AB}=x_B-x_A$};
\foreach \point in {A,B}
\draw[black,fill=white](\point) circle (1.2pt);	
\end{tikzpicture}
\figcaption{}\label{figmesalg}
\end{figure}

De la dĂ©finition qui vient d'ĂŞtre donnĂ©e, on dĂ©duit immĂ©diatement que :
\begin{itemize}
\item Pour tout point $A$, $\mesalg{AA}=0$.
\item Pour tout couple de points $A$ et $B$, $\mesalg{BA}$ et $\mesalg{AB}$ sont deux nombres opposĂ©s.
\end{itemize} 
Plus gĂ©nĂ©ralement, on peut Ă©noncer le
\begin{thm}\label{thchasles}%
Soit $A$, $B$ et $C$ trois points donnĂ©s sur une droite dans un ordre quelconque. On a l'Ă©galitĂ© suivante (relation de Chasles pour les mesures algĂ©briques) 
\[\mesalg{AC}=\mesalg{AB}+\mesalg{BC}.\]
\end{thm}

\begin{proof} La vĂ©rification est immĂ©diate.
\begin{align*}\mesalg{AB}+\mesalg{BC}&amp;=(x_B-x_A)+(x_C-x_B),\\
&amp;=x_C-x_A,\\
&amp;=\mesalg{AC}.\qedhere
\end{align*}
\end{proof}

Nous donnons maintenant deux complĂ©ments sur la notion de mesure algĂ©brique, qui faciliteront la comprĂ©hension de la suite.

\begin{remark}[Lien avec le produit d'un vecteur par un rĂ©el]
La notion de mesure algĂ©brique est fortement liĂ©e Ă&nbsp; celle de produit d'un vecteur par un rĂ©el. Si $O$ et $A$ sont deux points distincts, $\lambda$ un rĂ©el et $M$ un point quelconque du plan, on a l'Ă©quivalence
\[
(\Vector{OM}=\lambda\Vector{OA})\iff(M\in (OA) \text{ et }\mesalg{OM}=\lambda\mesalg{OA}).
\]
Il s'en dĂ©duit que le milieu $I$ d'un segment $[AB]$ peut ĂŞtre caractĂ©risĂ© par des relations entre mesures algĂ©briques, qu'il est parfois intĂ©ressant de substituer aux Ă©galitĂ©s vectorielles correspondantes :
\begin{align}
I \text{ est le milieu de }[AB]&amp;\iff \mesalg{AI}=\mesalg{IB}=\frac12\mesalg{AB},\\
&amp;\iff\mesalg{IA}+\mesalg{IB}=0.\label{eqcaracmilieu}
\end{align}
\end{remark}

\begin{remark}[Lien avec le produit scalaire]
La mesure algĂ©brique peut Ă©galement intervenir dans l'expression du cosinus d'un angle et du produit scalaire. PrĂ©cisĂ©ment, si $A$ et $B$ sont deux points tous deux distincts du point $O$, le produit scalaire $\Vector{OA}\cdot\Vector{OB}$ peut ĂŞtre dĂ©fini par 
\begin{equation}\Vector{OA}\cdot\Vector{OB}=OA\times OB\times \cos(\widehat{AOB}).\label{pscal1}
\end{equation}
%\[
%\Vector{OA}\cdot\Vector{OB}=OA\times OB\times \rho([OA),[OB)),
%\]
%oĂą $\rho([OA),[OB))$ dĂ©signe le rapport de projection orthogonale de la demi-droite $[OB)$ sur la demi-droite $[OA)$. 

On dĂ©signe par $H$ le projetĂ© orthogonal de $B$ sur la \emph{droite} $(OA)$.
La dĂ©finition~\eqref{pscal1} permet d'affirmer que le produit scalaire $\Vector{OA}\cdot\Vector{OB}$ est de mĂŞme signe que $\cos(\widehat{AOB})$, soit positif, si l'angle $\widehat{AOB}$ est aigu et nĂ©gatif si cet angle est obtus. Le point $H$ appartient dans ce  dernier cas Ă&nbsp; la demi-droite opposĂ©e Ă&nbsp; $[OA)$ (voir figure~\ref{figpscal0}). On a donc :
\begin{equation*}
\cos(\widehat{AOB})=
\begin{cases}
\hphantom{-}OH/OB&amp;\text{si $\widehat{AOB}$ est aigu},\\
-OH/OB&amp;\text{si $\widehat{AOB}$ est obtus}.\\
\end{cases}
\end{equation*}

%\[\cos(\widehat{AOB})=\frac{\mesalg{OH}}{\mesalg{OB}}.\]
En reportant dans~\eqref{pscal1} et en simplifiant par $OB$, on obtient une autre expression du produit scalaire :
\begin{equation*}
\Vector{OA}\cdot\Vector{OB}=
\begin{cases}
\hphantom{-}OA\times OH&amp;\text{si $\widehat{AOB}$ est aigu},\\
-OA\times OH&amp;\text{si $\widehat{AOB}$ est obtus}.
\end{cases}%\label{pscal0}
\end{equation*}



On remarque alors que les demi-droites $[OA)$ et $[OH)$ sont de mĂŞme sens si $\widehat{AOB}$ est aigu, et de sens contraire si $\widehat{AOB}$ est obtus. D'oĂą une expression du produit scalaire utilisant les mesures algĂ©briques :
\begin{equation}
\Vector{OA}\cdot\Vector{OB}=\mesalg{OA}\times\mesalg{OH}.\label{pscal0}
\end{equation}

%\dinofig{\figcaption{}\label{figpscal0}}
\XSmartphoneCommand{
\begin{figure}[ht]
\hfill
\begin{tikzpicture}
\coordinate[label=left:$O$] (O) at (0,0);
\coordinate(X) at (1,0);
\coordinate[label=below:$B$](B) at ($(O)!3!350:(X)$);
\coordinate(Y) at ($(O)!0.5!(B)$);
\coordinate[label=above:$H$](H) at ($(Y)!1!50:(B)$);
\coordinate[label=right:$A$](A) at ($(O)!1.3!(H)$);
\draw[semithick,-&gt;] (O)--(B);
\draw[semithick,-&gt;] (O)--(A);
\draw[dashed](B)--(H);
\foreach \point in {O,H}
\draw[black,fill=white](\point) circle (1.2pt);	
\end{tikzpicture}
\hfill\hfill
\begin{tikzpicture}
\coordinate[label=below:$O$] (O) at (0,0);
\coordinate(X) at (1,0);
\coordinate[label=above:$B$](B) at ($(O)!2.9!160:(X)$);
\coordinate(Y) at ($(O)!0.5!(B)$);
\coordinate[label=below:$H$](H) at ($(Y)!1!50:(B)$);
\coordinate(Z) at ($(O)!1.2!(H)$);
\coordinate[label=above:$A$](A) at ($(O)!-0.6!(H)$);
\draw[semithick,-&gt;] (O)--(B);
\draw[semithick,-&gt;] (O)--(A);
\draw(O)--(Z);
\draw[dashed](B)--(H);
\foreach \point in {O,H}
\draw[black,fill=white](\point) circle (1.2pt);	
\end{tikzpicture}
\hfill\null
\figcaption{}\label{figpscal0}
\end{figure}
}
\SmartphoneCommand{
\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tikzpicture}
\coordinate[label=left:$O$] (O) at (0,0);
\coordinate(X) at (1,0);
\coordinate[label=below:$B$](B) at ($(O)!3!350:(X)$);
\coordinate(Y) at ($(O)!0.5!(B)$);
\coordinate[label=above:$H$](H) at ($(Y)!1!50:(B)$);
\coordinate[label=right:$A$](A) at ($(O)!1.3!(H)$);
\draw[semithick,-&gt;] (O)--(B);
\draw[semithick,-&gt;] (O)--(A);
\draw[dashed](B)--(H);
\foreach \point in {O,H}
\draw[black,fill=white](\point) circle (1.2pt);	
\end{tikzpicture}
\\[1ex]
\begin{tikzpicture}
\coordinate[label=below:$O$] (O) at (0,0);
\coordinate(X) at (1,0);
\coordinate[label=above:$B$](B) at ($(O)!2.9!160:(X)$);
\coordinate(Y) at ($(O)!0.5!(B)$);
\coordinate[label=below:$H$](H) at ($(Y)!1!50:(B)$);
\coordinate(Z) at ($(O)!1.2!(H)$);
\coordinate[label=above:$A$](A) at ($(O)!-0.6!(H)$);
\draw[semithick,-&gt;] (O)--(B);
\draw[semithick,-&gt;] (O)--(A);
\draw(O)--(Z);
\draw[dashed](B)--(H);
\foreach \point in {O,H}
\draw[black,fill=white](\point) circle (1.2pt);	
\end{tikzpicture}
\figcaption{}\label{figpscal0}
\end{figure}
}
\begin{example}[Remarques]
\begin{enumerate}
\item L'angle notĂ© $\widehat{AOB}$ est un angle \emph{non orientĂ©} de demi-droites ; autrement dit, il n'y a pas lieu de distinguer  $\widehat{AOB}$ et $\widehat{BOA}$. Il en dĂ©coule que le produit scalaire est commutatif (le terme \frquote{symĂ©trique} serait sans doute plus adaptĂ©).

On aurait donc pu tout aussi bien utiliser le projetĂ© de $A$ sur $(OB)$. 
\item L'indĂ©pendance du cosinus par rapport Ă&nbsp; l'ordre des deux demi droites $[OA)$ et $[OB)$ provient de ce que $\cos(\widehat{AOB})$ est Ă©gal au rapport de projection orthogonale, notĂ© $\rho([OA),[OB))$, de  la demi-droite $[OB)$ sur la demi-droite $[OA)$. On sait en effet (c'est en gĂ©nĂ©ral considĂ©rĂ© comme un des axiomes de la gĂ©omĂ©trie plane) que
\[\rho([OA),[OB))=\rho([OB),[OA)).\]

 \item Lorsque les points $A$ et $B$ sont confondus, on a 
 \begin{align*}
 \Vector{OA}\cdot\Vector{OB}&amp;=\Vector{OA}\cdot\Vector{OA},\\
 &amp;=OA^2\times \cos(\widehat{AOA}).
 \end{align*}
 L'angle $\widehat{AOA}$ est nul : on a donc $\cos(\widehat{AOA})=1$ d'oĂą finalement 
 \begin{equation}
\Vector{OA}\cdot\Vector{OA}=\bigl({\Vector{OA}}\bigr)^2=OA^2.\label{eqcarres}
\end{equation}
\end{enumerate}
\end{example}
\end{remark}

\section{Point et cercle}
\subsection{Une dĂ©finition}
Ă‰tant donnĂ© un cercle $\symcal{C}$, de centre $O$ et de rayon $r$, et un point $P$ quelconque, la puissance du point $P$ par rapport au cercle $\symcal{C}$ est par dĂ©finition le nombre 
\[\symcal{C}(P)=OP^2-r^2 \text{ (voir figure~\ref{figdefppc})}.\]

\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tikzpicture}
\coordinate[label=below:$O$] (O) at (2,0);
\coordinate(X) at (3,0);
\node[draw,label=above:$\symcal{C}$] (c) at (O) [circle through={(X)}]{};
\coordinate[label=right:$P$] (P) at ($(O)!3.2!15:(X)$);
\coordinate[label=right:$A$](A) at ($(O)!1!312:(X)$);
\draw[semithick](P)--(O)--(A);
\node[right] at (X){$\symcal{C}(P)=OP^2-OA^2$};
\node[right=1.3cm,below=1mm] at (X){$\text{pour tout }A\in\symcal{C}$};
\foreach \point in {P,O,A}
\draw[black,fill=white](\point) circle (1.2pt);	
\end{tikzpicture}
\figcaption{}\label{figdefppc}
\end{figure}

Par consĂ©quent, la puissance d'un point $P$ par rapport Ă&nbsp; un cercle est :
\begin{itemize}
\item strictement positive si le point $P$ est extĂ©rieur au cercle;
\item nulle si le point $P$ appartient au cercle;
\item strictement nĂ©gative et au minimum Ă©gale Ă&nbsp; $-r^2$ si le point $P$ est intĂ©rieur au cercle.
\end{itemize}

\subsection{Avec une tangente}\label{subsectangente}
On se place ici dans le cas oĂą le point $P$ est extĂ©rieur au cercle. Il est alors possible de s'intĂ©resser aux tangentes issues de $P$.
\begin{thm}
Soit un cercle $\symcal{C}$ de centre $O$, un point $P$ extĂ©rieur au cercle et $T$ le point de contact de l'une des tangentes Ă&nbsp; $\symcal{C}$ issues de $P$. La puissance de $P$ par rapport Ă&nbsp; $\symcal{C}$ vaut
\[\symcal{C}(P)=PT^2.\]
\end{thm}


\begin{proof}
On pourra se rĂ©fĂ©rer Ă&nbsp; la figureÂ&nbsp;\ref{figtangente}. La droite $(PT)$ Ă©tant tangente Ă&nbsp; $\symcal{C}$, le triangle $OTP$ est rectangle en $T$. D'aprĂ¨s le thĂ©orĂ¨me de Pythagore, on a 
\[\symcal{C}(P)=OP^2-OT^2=PT^2.\qedhere\]
\end{proof}

\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tikzpicture}
\coordinate[label=left:$O$] (O) at (2,0);
\coordinate(X) at (3.5,0);
\node[draw,label=above:$\symcal{C}$] (c) at (O) [circle through={(X)}]{};
\coordinate[label=right:$P$] (P) at ($(O)!1.7!345:(X)$);
\coordinate(Y) at ($(O)!0.5!(P)$);
\node[draw,dashed] (x) at (Y) [circle through={(P)}]{};
\coordinate[label=above:$T$](T) at  (intersection 2 of c and x);
\draw (P)--(T)--(O)--cycle;
\foreach \point in {P,T,O}
\draw[black,fill=white](\point) circle (1.2pt);	
\end{tikzpicture}
\figcaption{}\label{figtangente}
\end{figure}

\subsection{Avec une sĂ©cante}\label{subsecsecante}
Le point $P$ est cette fois-ci quelconque. On considĂ¨re alors une droite sĂ©cante au cercle et passant par $P$ (voir la figureÂ&nbsp;\ref{figsecante}).
\begin{thm}
Soit un cercle $\symcal{C}$ de centre $O$, un point $P$ quelconque et une droite passant par $P$ sĂ©cante au cercle en $A$ et $B$. La puissance de $P$ par rapport Ă&nbsp; $\symcal{C}$ vaut alors
\[\symcal{C}(P)=\mesalg{PA}\times\mesalg{PB}.\]
\end{thm}

\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tikzpicture}
\coordinate[label=below:$O$] (O) at (2,0);
\coordinate(X) at (3.5,0);
\node[draw,label=above:$\symcal{C}$] (c) at (O) [circle through={(X)}]{};
\coordinate[label=left:$A$] (A) at ($(O)!1!155:(X)$);
\coordinate(A') at ($(A)!2!(O)$);
\coordinate[label=right:$P$] (P) at ($(O)!1.8!35:(X)$);
\coordinate(Z) at ($(A')!0.5!(P)$);
\node (x) at (Z) [circle through={(P)}]{};
\coordinate[label=above:$B$](B) at  (intersection 2 of c and x);
\coordinate[label=above:$I$](I) at ($(A)!0.5!(B)$);
\draw (P)--(B)--(I)--(A);
\draw(A)--(O)--(B);
\draw(P)--(O)--(I);
\foreach \point in {A,P,B,O,I}
\draw[black,fill=white](\point) circle (1.2pt);	
\end{tikzpicture}
\figcaption{}\label{figsecante}
\end{figure}

\begin{proof}
Soit $I$ le milieu de $[AB]$ : $AOB$ Ă©tant isocĂ¨le en $O$, la droite $(OI)$ est la mĂ©diatrice de $[AB]$. Les triangles $OIP$ et $OIA$ sont rectangles en $I$. On a donc $OP^2=OI^2+IP^2$ et $OA^2=OI^2+IA^2$.

 Par consĂ©quent,
\begin{align*}
\symcal{C}(P)&amp;=PO^2-OA^2,\\
&amp;=(OI^2+IP^2)-(OI^2+IA^2),\\
\intertext{soit en rĂ©duisant,}
\symcal{C}(P)&amp;=IP^2-IA^2,\\
\intertext{puis en utilisant une identitĂ© remarquable et les Ă©galitĂ©s~\eqref{eqcarres} et~\eqref{eqcaracmilieu}}
\symcal{C}(P)&amp;=\mesalg{PI}^2-\mesalg{IA}^2,\\
&amp;=(\mesalg{PI}+\mesalg{IA})(\mesalg{PI}-\mesalg{IA}),\\
&amp;=(\mesalg{PI}+\mesalg{IA})(\mesalg{PI}+\mesalg{IB}),\\
\intertext{et enfin, grĂ˘ce au thĂ©orĂ¨me~\ref{thchasles}}
\symcal{C}(P)&amp;=\mesalg{PA}\times\mesalg{PB}.\qedhere
\end{align*}

\end{proof}

\begin{example}[Remarques]
\begin{enumerate}
\item Il est remarquable que la quantitĂ© $\mesalg{PA}\times\mesalg{PB}$ ne dĂ©pende pas de la sĂ©cante choisie : autrement dit, si deux sĂ©cantes passant par $P$ coupent le cercle respectivement en $A$ et $B$ et en $C$ et $D$, alors
\[\mesalg{PA}\times\mesalg{PB}=\mesalg{PC}\times\mesalg{PD}.\]
\item Si $P$ est intĂ©rieur au cercle, les demi-droites $[PA)$ et $[PB)$ sont de sens contraires : on retrouve le fait que $\symcal{C}(P)$ est dans ce cas nĂ©gatif.
\item Une tangente issue de $P$, comme on l'a Ă©voquĂ© en \ref{subsectangente}, peut ĂŞtre considĂ©rĂ©e comme une position limite d'une sĂ©cante pivotant autour de $P$, les points $A$ et $B$ Ă©tant alors confondus en $T$ : on aura bien de ce point de vue $\mesalg{PA}\times\mesalg{PB}=PT^2$.
\end{enumerate}
\end{example} 

\subsection{Utilisation du produit scalaire}
On utilise ici la relation~\eqref{pscal0} pour donner une autre expression de la puissance d'un point par rapport Ă&nbsp; un cercle (voir figure~\ref{figpscal2}).
\begin{thm}
Soit un cercle $\symcal{C}$ de centre $O$, un point $P$ quelconque, et deux points de $\symcal{C}$ diamĂ©tralement opposĂ©s $A_1$ et $A_2$. La puissance de $P$ par rapport Ă&nbsp; $\symcal{C}$ vaut alors
\[\symcal{C}(P)=\Vector{PA_1}\cdot\Vector{PA_2}.\]
\end{thm}

\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tikzpicture}
\coordinate[label=below:$O$] (O) at (2,0);
\coordinate(X) at (3.5,0);
\node[draw,label=above:$\symcal{C}$] (c) at (O) [circle through={(X)}]{};
\coordinate[label=left:$A_1$] (A) at ($(O)!1!160:(X)$);
\coordinate[label=right:$A_2$] (A') at ($(A)!2!(O)$);
\coordinate[label=right:$P$] (P) at ($(O)!2.2!32:(X)$);
\coordinate(Z) at ($(A')!0.5!(P)$);
\node (x) at (Z) [circle through={(P)}]{};
\coordinate[label=above:$B$](B) at  (intersection 2 of c and x);
\draw [semithick,-&gt;](P)--(A);
\draw[semithick,-&gt;](P)--(A');
\draw(A')--(B);
\foreach \point in {P,B,O}
\draw[black,fill=white](\point) circle (1.2pt);	
\end{tikzpicture}
\figcaption{}\label{figpscal2}
\end{figure}

\begin{proof}%\sloppy
Tout d'abord, les droites $(PA_1)$ et $(PA_2)$ ne peuvent ĂŞtre toutes les deux tangentes Ă&nbsp; $\symcal{C}$ : en effet, deux tangentes en des points diamĂ©tralement opposĂ©s sont parallĂ¨les disjointes et ne peuvent avoir le point $P$ en commun. Quitte Ă&nbsp; permuter $A_1$ et $A_2$, il n'est donc pas restrictif de supposer que la droite $(PA_1)$ est sĂ©cante (et non tangente) Ă&nbsp; $\symcal{C}$.

Soit alors $B$ la seconde intersection de la droite $(PA_1)$ avec le cercle. Le segment $[A_1A_2]$ Ă©tant un diamĂ¨tre du cercle, le point $B$ est le projetĂ© orthogonal de $A_2$ sur $(PA_1)$. On a donc d'aprĂ¨sÂ&nbsp;\ref{subsectangente}
\begin{align*}
\symcal{C}(P)&amp;=\mesalg{PA_1}\times\mesalg{PB},\\
&amp;=\Vector{PA_1}\cdot\Vector{PA_2}.\qedhere
\end{align*}
\end{proof}


\begin{remark}
On se persuadera facilement, en observant la figureÂ&nbsp;\ref{figpscal3}, que le raisonnement prĂ©cĂ©dent est indĂ©pendant de la position de $P$ par rapport au cercle.
\end{remark}
%\dinofig[-0.5]{\figcaption{}\label{figpscal3}}

\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tikzpicture}
\coordinate[label=below:$O$] (O) at (2,0);
\coordinate(X) at (3.5,0);
\node[draw,label=above:$\symcal{C}$] (c) at (O) [circle through={(X)}]{};
\coordinate[label=left:$A_1$] (A) at ($(O)!1!160:(X)$);
\coordinate[label=right:$A_2$] (A') at ($(A)!2!(O)$);
\coordinate[label=above:$P$] (P) at ($(O)!0.6!70:(X)$);
\coordinate(Z) at ($(A')!0.5!(P)$);
\node (x) at (Z) [circle through={(P)}]{};
\coordinate[label=above:$B$](B) at  (intersection 2 of c and x);
\draw [semithick,-&gt;](P)--(A);
\draw[semithick,-&gt;](P)--(A');
\draw(P)--(B);
\draw(A')--(B);
\foreach \point in {P,B,O}
\draw[black,fill=white](\point) circle (1.2pt);	
\end{tikzpicture}
\figcaption{}\label{figpscal3}
\end{figure}

\subsection{Dans un repĂ¨re orthonormal}
On se place ici dans un repĂ¨re orthonormal et l'on considĂ¨re un cercle $\symcal{C}$ de centre $\Omega(a,b)$ et de rayon $r$. On s'intĂ©resse alors Ă&nbsp; l'expression de la puissance d'un point $M(x,y)$ quelconque par rapport au cercle $\symcal{C}$.
\begin{thm}\label{threp}
Soit dans le plan rapportĂ© Ă&nbsp; un repĂ¨re orthonormal un cercle $\symcal{C}$ de centre $\Omega(a,b)$ et de rayon $r$. Soit un point $M(x,y)$. La puissance de $M$ par rapport Ă&nbsp; $\symcal{C}$ est 
\[\symcal{C}(M) = x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2.\]
\end{thm}

\begin{proof}
On a 
\begin{align*}\symcal{C}(M)&amp;=\Omega M^2-r^2\\
&amp;={(x-a)}^2+{(y-b)}^2-r^2,\\
&amp;=x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2-r^2.\qedhere
\end{align*}
\end{proof}

De plus, en remarquant que $M\in\symcal{C}$ si et seulement si la puissance de $M$ par rapport Ă&nbsp; $\symcal{C}$ est nulle, on Ă©tablit le corollaire suivant :
%\DinoAfourNBCommand{\par\pagebreak}
\begin{coro*}
Dans le plan rapportĂ© Ă&nbsp; un repĂ¨re orthonormal, le cercle $\symcal{C}$ de centre $\Omega(a,b)$ et de rayon $r$ admet pour Ă©quation
\[x^2+y^2-2ax-2by+c=0,\]
oĂą $c=a^2+b^2-r^2$.
\end{coro*}

\section{CocyclicitĂ©}
On dit que quatre points distincts sont cocycliques s'ils appartiennent Ă&nbsp; un mĂŞme cercle (un tel cercle est Ă©videmment unique : ce que l'on affirme en disant que les points sont cocycliques est que cercle circonscrit au triangle formĂ© par trois quelconques de ces points passe par le quatriĂ¨me). On se propose d'Ă©tablir le thĂ©orĂ¨me suivant (voir figure~\ref{figcocy}).

\begin{thm} Soit quatre points distincts $A$, $B$, $C$ et $D$ tels que les droites $(AB)$ et $(CD)$ soient sĂ©cantes en $P$. Les points $A$, $B$, $C$, $D$ sont cocycliques si et seulement si 
\[\mesalg{PA}\times\mesalg{PB}=\mesalg{PC}\times\mesalg{PD}.\]
\end{thm}

%\dinofig{\figcaption{}\label{figcocy}}
\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tikzpicture}
\coordinate (O) at (2,0);
\coordinate(X) at (4,0);
\node[draw,label=above:$\symcal{C}$] (c) at (O) [circle through={(X)}]{};
\coordinate[label=left:$A$] (A) at ($(O)!1!140:(X)$);
\coordinate[label=below:$B$] (B) at ($(O)!1!310:(X)$);
\coordinate[label=left:$C$] (C) at ($(O)!1!210:(X)$);
\coordinate[label=above:$D$] (D) at ($(O)!1!65:(X)$);
\coordinate[label=right:$\kern3pt P$](P) at  (intersection of A--B and C--D);
\draw(A)--(B);
\draw(C)--(D);
\foreach \point in {A,B,C,D,P}
\draw[black,fill=white](\point) circle (1.2pt);	
\end{tikzpicture}
\figcaption{}\label{figcocy}
\end{figure}

\begin{proof}
Il s'agit de dĂ©montrer une Ă©quivalence. Nous procĂ©derons donc classiquement en deux temps : d'abord le sens direct, puis la rĂ©ciproque.

Supposons pour commencer que les points $A$, $B$, $C$, $D$ soient sur un mĂŞme cercle $\symcal{C}$. Alors les droites $(AB)$ et $(CD)$ Ă©tant des sĂ©cantes au cercle contenant chacune le point $P$, on a
\[\symcal{C}(P)=\mesalg{PA}\times\mesalg{PB}=\mesalg{PC}\times\mesalg{PD}.\]

RĂ©ciproquement, supposons que $\mesalg{PA}\times\mesalg{PB}=\mesalg{PC}\times\mesalg{PD}$. Soit alors $\symcal{C}\;$ le cercle circonscrit au triangle $ABC$ : il nous suffit de prouver que $D\in\symcal{C}$. La droite $(CD)$ coupe le cercle en $C$ et en un second point $M$ tel que
\begin{align*}\mesalg{PC}\times\mesalg{PM}&amp;=\symcal{C}(P)\\
&amp;=\mesalg{PA}\times\mesalg{PB}\\
&amp;=\mesalg{PC}\times\mesalg{PD}, \text{ par hypothĂ¨se.}
\end{align*}
On en dĂ©duit que $\mesalg{PD}=\mesalg{PM}$, donc que $D=M$ ($P$ ne peut ĂŞtre confondu avec $C$, car alors il serait lui mĂŞme confondu avec $A$ ou $B$).
\end{proof}


\section{Axe radical de deux cercles}

\subsection{DĂ©finition}
On s'intĂ©resse ici Ă&nbsp; l'ensemble des  points qui ont mĂŞme puissance par rapport Ă&nbsp; deux cercles non concentriques donnĂ©s.

\begin{thm}
Ă‰tant donnĂ© deux cercles non concentriques $\symcal{C}_1$ et $\symcal{C}_2$ de centres et de rayons respectifs $(O_1,r_1)$ et $(O_2,r_2)$, l'ensemble des points qui ont la mĂŞme puissance par rapport Ă&nbsp; chacun des cercles est une droite $\Delta$ perpendiculaire Ă&nbsp; $(O_1O_2)$, nommĂ©e \emph{axe radical} des deux cercles.
\end{thm}

%\dinofig{\figcaption{}\label{figaxerad0}}
\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tikzpicture}
\clip (0.3,-1.3) rectangle (5.1,1.9);
\coordinate[label=below:$O_1$] (O1) at (1,0);
\coordinate(X1) at (1.6,0);
\node[draw,label=above:$\symcal{C_1}$] (c1) at (O1) [circle through={(X1)}]{};
\coordinate[label=below:$O_2$] (O2) at (3.8,0);
\coordinate[label=below:$I$] (I) at ($(O1)!0.5!(O2)$);
\coordinate(X2) at (5,0);
\node[draw,label=above:$\symcal{C_2}$] (c2) at (O2) [circle through={(X2)}]{};
\coordinate(Y1) at ($(O1)!-1.2!(X1)$);
\coordinate(Y2) at ($(O2)!1.1!(X2)$);
\draw (Y1)--(Y2);
\coordinate(Y) at (2,-1);
\coordinate(U) at (2,0.5);
\node (x) at (Y) [circle through={(U)}]{};
\coordinate(Z1) at  (intersection 1 of c1 and x);
\coordinate(T1) at  (intersection 2 of c1 and x);
\coordinate(Z2) at  (intersection 1 of c2 and x);
\coordinate(T2) at  (intersection 2 of c2 and x);
\coordinate[label=left:$M$](M) at (intersection of Z1--T1 and Z2--T2);
\coordinate(W1) at ($(O1)!0.5!(M)$);
\coordinate(W2) at ($(O2)!0.5!(M)$);
\node (w1) at (W1) [circle through={(M)}]{};
\node(w2) at (W2) [circle through={(M)}]{};
\coordinate[label=below:$H\kern13pt$](H) at  (intersection 1 of w1 and w2);
\coordinate[label=left:$\Delta$](V1) at ($(H)!1.5!(M)$);
\coordinate(V2) at ($(H)!-1.1!(M)$);
\draw[semithick](V1)--(V2);
\foreach \point in {O1,O2,I,M,H}
\draw[black,fill=white](\point) circle (1.2pt);	
\end{tikzpicture}
\figcaption{}\label{figaxerad0}
\end{figure}

\begin{remark}
Si les deux cercles sont concentriques et distincts, aucun point $M$ du plan n'est tel que $\symcal{C}_1(M)=\symcal{C}_2(M)$, c'est une consĂ©quence immĂ©diate de la dĂ©finition de la puissance d'un point par rapport Ă&nbsp; un cercle.
\end{remark}

\begin{proof}
Soit un point $M$ du plan et $H$ son projetĂ© orthogonal sur la droite $(O_1O_2)$. Nous supposons que $\symcal{C}_1(M)=\symcal{C}_2(M)$ ; nous allons prouver que le point $H$ occupe une position fixe (indĂ©pendante de $M$) sur $(O_1O_2)$, ce qui prouvera que $M$ appartient Ă&nbsp; la perpendiculaire en $H$ Ă&nbsp; cette droite. Pour nous Ă©viter une rĂ©ciproque fastidieuse, nous procĂ©derons par Ă©quivalence. DĂ©signons par $I$ le milieu de $[O_1O_2]$ et exprimons l'Ă©galitĂ© des puissances (voir la figure~\ref{figaxerad0}).
\begin{align*}
\symcal{C}_1(M)=\symcal{C}_2(M) &amp;\iff O_1M^2-r_1^2=O_2M^2-r_2^2,\\
\intertext{soit, en posant  $k=r_1^2-r_2^2$,}
\symcal{C}_1(M)=\symcal{C}_2(M) &amp;\iff O_1M_1^2-O_2M2^2=k,\\
&amp;\iff (\Vector{O_1M}+\Vector{O_2M})\cdot(\Vector{O_1M}-\Vector{O_2M})=k.
\end{align*}

On remarque alors que 
\begin{equation*}
\Vector{O_1M}+\Vector{O_2M}=\hspace{-0.5em}\underbrace{\Vector{O_1I}+\Vector{O_2I}}_{\substack{\vec{0}\text{, car } I\\\text{milieu de }[O_1O_2]}}\hspace{-0.5em}+\,2\Vector{IM}=2\Vector{IM}
\end{equation*}
et que
\begin{equation*}
\Vector{O_1M}-\Vector{O_2M}=\Vector{O_1M}+\Vector{MO_2}=\Vector{O_1O_2}.
\end{equation*}

On en dĂ©duit
\begin{align*}
\symcal{C}_1(M)=\symcal{C}_2(M) &amp;\iff 2\Vector{IM}\cdot\Vector{O_1O2}=k,\\
&amp;\iff 2(\underbrace{\Vector{IH}+\Vector{HM}}_{\Vector{IM}})\cdot\Vector{O_1O_2}=k,\\
&amp;\iff 2\Vector{IH}\cdot\Vector{O_1O_2}+2\underbrace{\Vector{HM}\cdot\Vector{O_1O_2}}_{\substack{0 \text{, car}\\(HM)\perp(O_1O_2)}}=k.
\end{align*}

Puisque les points $I$, $H$, $O_1$ et $O_2$ sont sur la mĂŞme droite, on peut  passer aux mesures algĂ©briques, et on obtient finalement :
\begin{align}
\symcal{C}_1(M)=\symcal{C}_2(M)&amp;\iff 2\mesalg{IH}\cdot\mesalg{O_1O_2}=k,\notag\\
&amp;\iff\mesalg{IH}=\frac{r_1^2-r_2^2}{2\mesalg{O_1O_2}}.\label{eqposH}
\end{align}


On en dĂ©duit que $\symcal{C}_1(M)=\symcal{C}_2(M)$ si et seulement si le projetĂ© orthogonal $H$ de $M$ sur $(O_1O_2)$ occupe la position (fixe) dĂ©finie par la relation~\eqref{eqposH}. L'ensemble des points $M$ est donc la droite $\Delta$ perpendiculaire Ă&nbsp; $(O_1O_2)$ passant par $H$.
\end{proof}

\subsection{DĂ©termination pratique}\label{subsecdetprat}
On s'intĂ©resse ici Ă&nbsp; la position relative des cercles $\symcal{C_1}$ et $\symcal{C_2}$.
\subsubsection{Cercles sĂ©cants}
Supposons que les cercles $\symcal{C_1}$ et $\symcal{C_2}$ soient sĂ©cants en deux points $A$ et $B$ (voir la figure~\ref{figaxerad1}). On a 
\[\symcal{C}_1(A)=\symcal{C}_2(A)=0 \text{ et }\symcal{C}_1(B)=\symcal{C}_2(B)=0 .
\]
Les points $A$ et $B$ ont tous deux la mĂŞme puissance par rapport Ă&nbsp; chacun des deux cercles : l'axe radical $\Delta$ de $\symcal{C}_1$ et $\symcal{C}_2$ est donc la droite $(AB)$.


%\dinofig{\figcaption{}\label{figaxerad1}}
\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tikzpicture}
\coordinate[label=below:$O_1$] (O1) at (0.8,0);
\coordinate(X1) at (2,0);
\node[draw,label=above:$\symcal{C_1}$] (c1) at (O1) [circle through={(X1)}]{};
\coordinate[label=below:$O_2$] (O2) at (3,0);
\coordinate(X2) at (4.8,0);
\node[draw,label=above:$\symcal{C_2}$] (c2) at (O2) [circle through={(X2)}]{};
\coordinate(Y1) at ($(O1)!-1.2!(X1)$);
\coordinate(Y2) at ($(O2)!1.1!(X2)$);
\draw (Y1)--(Y2);
\coordinate[label=right:$\kern2pt A$](A) at  (intersection 2 of c1 and c2);
\coordinate[label=right:$\kern2pt B$](B) at  (intersection 1 of c1 and c2);
\coordinate[label=below:$H\kern-13pt$](H) at  (intersection  of O1--O2 and A--B);
\coordinate[label=left:$\Delta$](V1) at ($(H)!1.7!(A)$);
\coordinate(V2) at ($(H)!1.3!(B)$);
\draw[semithick](V1)--(V2);
\foreach \point in {O1,O2,A,B,H}
\draw[black,fill=white](\point) circle (1.2pt);	
\end{tikzpicture}
\figcaption{}\label{figaxerad1}
\end{figure}

\subsubsection{Cercles tangents}
Supposons que les cercles $\symcal{C_1}$ et $\symcal{C_2}$ soient tangents (intĂ©rieurement ou extĂ©rieurement) en un point $T$ (voir la figure~\ref{figaxerad2}). On a 
$\symcal{C}_1(T)=\symcal{C}_2(T)=0$.
Le point $T$ a la mĂŞme puissance par rapport Ă&nbsp; chacun des deux cercles : l'axe radical $\Delta$ de $\symcal{C}_1$ et $\symcal{C}_2$ est donc la droite perpendiculaire en $T$ Ă&nbsp; $(O_1O_2)$.

%\dinofig{\figcaption{}\label{figaxerad2}}
\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tikzpicture}
\coordinate[label=below:$O_1$] (O1) at (1.2,0);
\coordinate[label=below:$\kern10pt T$](T) at (3,0);
\node[draw,label=above:$\symcal{C_1}$] (c1) at (O1) [circle through={(T)}]{};
\coordinate[label=below:$O_2$] (O2) at (1.8,0);
%\coordinate(X2) at (4.8,0);
\node[draw,label=above:$\symcal{C_2}$] (c2) at (O2) [circle through={(T)}]{};
\coordinate(Y1) at ($(O1)!-1.3!(T)$);
\coordinate(Y2) at ($(O2)!1.3!(T)$);
\draw (Y1)--(Y2);
\coordinate[label=left:$\Delta$](V1) at ($(T)!1!270:(O1)$);
\coordinate(V2) at ($(T)!1!90:(O1)$);
\draw[semithick](V1)--(V2);
\foreach \point in {O1,O2,T}
\draw[black,fill=white](\point) circle (1.2pt);	
\end{tikzpicture}
\figcaption{}\label{figaxerad2}
\end{figure}


\subsubsection{Cas gĂ©nĂ©ral}
Il est toujours possible de tracer un cercle auxiliaire $\Gamma$ sĂ©cant Ă&nbsp; $\symcal{C}_1$ en $A_1$ et $B_1$, Ă&nbsp; $\symcal{C}_2$ en $A_2$ et $B_2$, et  de telle sorte que les droites $(A_1B_1)$ et $(A_2B_2)$ soient elles-mĂŞmes sĂ©cantes en un point $P$ (voir la figure~\ref{figaxerad3}). On est ainsi ramenĂ© Ă&nbsp; des constructions ans le cas de cercles sĂ©cants.

Le point $P$ appartient Ă&nbsp; l'axe radical de $(A_1B_1)$ de $\symcal{C}_1$ et $\Gamma$, donc $\symcal{C}_1(P)=\Gamma(P)$. De mĂŞme, $\symcal{C}_2(P)=\Gamma(P)$ et par consĂ©quent $\symcal{C}_1(P)=\symcal{C}_2(P)$. Le point $P$ appartient donc Ă&nbsp; l'axe radical $\Delta$ de $\symcal{C}_1$ et $\symcal{C}_2$ : $\Delta$  est  la perpendiculaire Ă&nbsp; $(O_1O_2)$ passant par $P$. 

\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tikzpicture}
\coordinate[label=below:$O_1$] (O1) at (0.4,0);
\coordinate(X1) at (1.5,0);
\node[draw,label=above:$\symcal{C_1}$] (c1) at (O1) [circle through={(X1)}]{};
\coordinate[label=below:$O_2$] (O2) at (3.6,0);
\coordinate(X2) at (5,0);
\node[draw,label=above:$\symcal{C_2}$] (c2) at (O2) [circle through={(X2)}]{};
\coordinate(Y1) at ($(O1)!-1.2!(X1)$);
\coordinate(Y2) at ($(O2)!1.1!(X2)$);
\draw (Y1)--(Y2);
\coordinate(Y) at (2,-1);
\coordinate(U) at (2,0.5);
\node[draw,label=below:$\kern10pt\Gamma$] (g) at (Y) [circle through={(U)}]{};
\coordinate[label=left:$A_1${\rule[-8pt]{0pt}{10pt}}](A1) at  (intersection 2 of c1 and g);
\coordinate[label=below:$B_1\kern10pt$](B1) at  (intersection 1 of c1 and g);
\coordinate[label=right: $A_2${\rule[-8pt]{0pt}{10pt}}](A2) at  (intersection 1 of c2 and g);
\coordinate[label=below:$\kern10pt B_2$](B2) at  (intersection 2 of c2 and g);
\coordinate[label=left:$P$](P) at (intersection of A1--B1 and A2--B2);
\draw (P)--(B1);
\draw (P)--(B2);
\coordinate(W1) at ($(O1)!0.5!(P)$);
\coordinate(W2) at ($(O2)!0.5!(P)$);
\node (w1) at (W1) [circle through={(P)}]{};
\node(w2) at (W2) [circle through={(P)}]{};
\coordinate[label=below:$H\kern13pt$](H) at  (intersection 1 of w1 and w2);
\coordinate[label=left:$\Delta$](V1) at ($(H)!1.5!(P)$);
\coordinate(V2) at ($(H)!-2.4!(P)$);
\draw[semithick](V1)--(V2);
\foreach \point in {O1,O2,P,H,A1,B1,A2,B2}
\draw[black,fill=white](\point) circle (1.2pt);	
\end{tikzpicture}
\figcaption{}\label{figaxerad3}
\end{figure}

\subsubsection{Dans un repĂ¨re orthonormal}
Soit un cercle $\symcal{C}_1$ de centre $\Omega_1(a_1,b_1)$ et de rayon $r_2$, un cercle $\symcal{C}_2$ de centre $\Omega_2(a_2,b_2)$ et de rayon $r_2$. On suppose $\Omega_1\neq\Omega_2$ et on nomme $\Delta$ l'axe radical de ces deux cercles. D'aprĂ¨s le thĂ©orĂ¨me~\ref{threp} pageÂ&nbsp;\pageref{threp}, l'appartenance de $M(x,y)$ Ă&nbsp; $\Delta$ se traduit par
\begin{equation*}
x^2+y^2-2a_1x-2b_1y+c_1=x^2+y^2-2a_2x-2b_2y+c_2,
\end{equation*}
oĂą $c_1=a_1^2+b_1^2-r_1^2$ et $c_2=a_2^2+b_2^2-r_2^2$.

\vspace\baselineskip\par Donc, aprĂ¨s simplification :
\[P\in \Delta \iff (a_2-a_1)x+(b_2-b_1)y+(c_1-c_2)/2=0.\]
L'axe radical $\Delta$ admet pour Ă©quation 
\[(a_2-a_1)x+(b_2-b_1)y+(c_1-c_2)/2=0,\]
 oĂą l'on constate bien que $\Delta$  admet $\Vector{\Omega_1\Omega_2}$ pour vecteur normal.
 
 \subsection{Centre radical}
 Lorsqu'au~\ref{subsecdetprat} nous avons, pour traiter le cas gĂ©nĂ©ral, exploitĂ© l'idĂ©e d'un cercle auxiliaire, nous avons implicitement dĂ©montrĂ© le thĂ©orĂ¨me suivant (voir la figure~\ref{figcentrerad}).
 \begin{thm}
 Soient trois cercles $\symcal{C}_1$, $\symcal{C}_2$ et $\Gamma$ dont les centres sont distincts et non alignĂ©s. Les axes radicaux $\Delta$ de $\symcal{C}_1$ et $\symcal{C}_2$, $\symcal{D}_1$ de $\symcal{C}_1$ et $\Gamma$ et finalement $\symcal{D}_2$ de $\symcal{C}_2$ et $\Gamma$ sont concourants en un point $P$ nommĂ© \emph{centre radical} des trois cercles.
 \end{thm}
 
\newcommand{\figurecentrerad}{%
 \begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tikzpicture}
\coordinate (O1) at (0.4,0);
\coordinate(X1) at (1.5,0);
\node[draw,label=above:$\symcal{C_1}$] (c1) at (O1) [circle through={(X1)}]{};
\coordinate (O2) at (3.6,0);
\coordinate(X2) at (5,0);
\node[draw,label=above:$\symcal{C_2}$] (c2) at (O2) [circle through={(X2)}]{};
\coordinate(Y) at (2,-1);
\coordinate(U) at (2,0.5);
\node[draw,label=below:$\kern10pt\Gamma$] (g) at (Y) [circle through={(U)}]{};
\coordinate(A1) at  (intersection 2 of c1 and g);
\coordinate(B1) at  (intersection 1 of c1 and g);
\coordinate(A2) at  (intersection 1 of c2 and g);
\coordinate(B2) at  (intersection 2 of c2 and g);
\coordinate[label=right:$\symcal{D}_1$](Y1) at ($(A1)!1.8!(B1)$);
\coordinate[label=left:$\symcal{D}_2$](Y2) at ($(A2)!1.5!(B2)$);
\coordinate[label=left:$P$](P) at (intersection of A1--B1 and A2--B2);
\draw (P)--(Y1);
\draw (P)--(Y2);
\coordinate(W1) at ($(O1)!0.5!(P)$);
\coordinate(W2) at ($(O2)!0.5!(P)$);
\node (w1) at (W1) [circle through={(P)}]{};
\node(w2) at (W2) [circle through={(P)}]{};
\coordinate(H) at  (intersection 1 of w1 and w2);
\coordinate[label=left:$\Delta$](V1) at ($(H)!1.5!(P)$);
\coordinate(V2) at ($(H)!-2.4!(P)$);
\draw(V1)--(V2);
\foreach \point in {P,A1,B1,A2,B2}
\draw[black,fill=white](\point) circle (1.2pt);	
\end{tikzpicture}
\figcaption{}\label{figcentrerad}
\end{figure}
}

%\DinoiPhoneCommand{%
%\afterpage{\clearpage
%\figurecentrerad
%\par
%\vspace{0.7cm}
%{
%\centering\LARGE\textcolor{ColorOne}\decoone

%}
%}}

%\DinoiPadStdCommand{\figurecentrerad}
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\figurecentrerad

\begin{proof}
On dĂ©finit $P$ comme intersection de $\symcal{D}_1$ et $\symcal{D}_2$ (le fait que les centres ne soient pas alignĂ©s garantit l'existence de $P$) :
\begin{align*}
P\in \symcal{D}_1&amp;\implies \symcal{C}_1(P)=\Gamma(P)\text{ et }\\
P\in \symcal{D}_2&amp;\implies \symcal{C}_2(P)=\Gamma(P),
\end{align*}
dont on dĂ©duit que $\symcal{C}_1(P)=\symcal{C}_2(P)$. Autrement dit $P\in \Delta$.
\end{proof}
%\DinoAfourColorCommand{%
%\par
%\vspace{1.5cm}
%{
%\centering\LARGE\textcolor{ColorOne}\decoone
%
%}
%}

\endinput</pre></body></html>